Quy tắc hình bình hành vecto & bài tập vận dụng

Ở bài viết trước, chúng ta đã được học về phép tính tổng của hai vectơ. Vậy muốn tìm tổng của 2 vectơ có chung điểm đầu chúng ta phải làm như thế nào? Bài viết sau sẽ nhắc lại cho bạn đọc về quy tắc ba điểm và trình bày một quy tắc mới trong việc áp dụng để tìm tổng của 2 vectơ có chung điểm đầu, đó là: Quy tắc hình bình hành. Đặc biệt, bài viết này VOH Giáo Dục cũng sẽ tổng hợp cho bạn đọc một số bài toán liên quan áp dụng quy tắc hình bình hành.

1. Nhắc lại quy tắc ba điểm

1.1. Định nghĩa tổng của 2 vectơ

Cho vectơ và vectơ . Ta lấy 1 điểm M bất kỳ và vẽ sao cho và . Khi đó, ta nói vectơ là tổng của vectơ và vectơ . Kí hiệu tổngcủa vectơ và vectơ chính là . Do đó .

1.2. Quy tắc ba điểm

Cho ba điểm M, N, P bất kỳ. Khi đó, từ định nghĩa phép cộng vectơ, ta có đẳng thức vectơ như sau: (quy tắc 3 điểm).

Chú ý: Muốn tìm tổng của 2 vectơ theo quy tắc 3 điểm, ta biến đổi sao cho điểm cuối của vectơ thứ nhất trùng với điểm đầu của vectơ thứ hai.

» Xem thêm: Quy tắc 3 điểm là gì? Khái niệm & bài tập ứng dụng

2. Quy tắc hình bình hành vectơ

Cho hình bình hành MNPQ. Khi đó, ta có .

Chứng minh quy tắc hình bình hành:

Vì MNPQ là hình bình hành, nên ta suy ra (theo tính chất hai vectơ bằng nhau).

Do đó, ta có: (theo quy tắc 3 điểm).

Ta suy ra điều phải chứng minh.

Ví dụ 1. Cho tứ giác GLXY là hình bình hành. Em hãy sử dụng quy tắc hình bình hành đã học để tìm các tổng sau:

1) ;

2) .

Lời giải

1) Sử dụng quy tắc hình bình hành, ta được: .

2) Sử dụng quy tắc hình bình hành, ta được: .

Nhận xét: Cho vectơ và vectơ cùng chung điểm đầu. Khi đó, ta sẽ sử dụng quy tắc hình bình hành để tìm tổng .

Chú ý: Để tìm tổng của 2 vectơ bất kỳ, ta cần biến đổi tổng của 2 vectơ bất kỳ đó về tổng của 2 vectơ có cùng chung điểm đầu, từ đó ta sử dụng quy tắc hình bình hành để tìm tổng ban đầu.

Ví dụ 2. Cho vectơ và vectơ trong hình vẽ sau. Em hãy sử dụng quy tắc hình bình hành để tìm tổng của 2 vectơ đó.

Lời giải

Ta vẽ hình bình hành MNPQ sao cho và .

Khi đó, ta suy ra .

Sử dụng quy tắc hình bình hành, ta được .

Do đó .

3. Các dạng toán áp dụng quy tắc hình bình hành

3.1. Dạng 1: Sử dụng quy tắc hình bình hành tính độ dài của tổng 2 vectơ

* Phương pháp giải:

Để tính độ dài của tổng 2 vectơ bất kỳ, ta cần biến đổi tổng của 2 vectơ bất kỳ đó về tổng của 2 vectơ có cùng chung điểm đầu, sau đó ta sử dụng quy tắc hình bình hành để đưa tổng đó trở thành một vectơ cụ thể và tính độ dài của vectơ đó, từ đó ta được độ dài của tổng 2 vectơ.

Bài tập vận dụng:

Bài 1. Cho tam giác MNP. Gọi điểm K là trung điểm của đoạn thẳng NP. Biết MK = u. Hãy tính độ dài của tổng 2 vectơ sau: .

Gọi E là điểm đối xứng với điểm M qua điểm K.

Xét tứ giác MNEP có:

+ MK = EK (do E là điểm đối xứng với M qua K)

+ NK = PK (do K là trung điểm của đoạn thẳng NP)

Ta suy ra, tứ giác MNEP có 2 đường chéo ME và NP cắt nhau tại trung điểm K của mỗi đường.

Do đó tứ giác MNEP là hình bình hành.

Sử dụng quy tắc hình bình hành, ta được .

Ta có ME = 2MK = 2u (do E là điểm đối xứng với M qua K).

Khi đó = ME = 2u.

Vậy độ dài của tổng 2 vectơ là 2u.

Bài 2. Cho ABCDRT là lục giác đều. Gọi điểm E là tâm của lục giác đều ABCDRT. Biết lục giác đều ABCDRT có độ dài các cạnh bằng 2 (đvđd). Hãy tính độ dài của tổng 2 vectơ sau: .

Vì ABCDRT là lục giác đều với điểm E là tâm, nên ta có .

Ta suy ra .

Lại có tứ giác TEDR là hình bình hành, khi đó sử dụng quy tắc hình bình hành ta được: .

Do đó, ta được = ER = 2.

Vậy độ dài của tổng 2 vectơ là 2.

Bài 3. Cho tam giác HKT vuông tại H. Biết 2 cạnh góc vuông HK và HT có độ dài lần lượt là 3 và 4. Hãy tính độ dài của tổng 2 vectơ sau: .

Gọi X là trung điểm của cạnh huyền KT của tam giác vuông HKT;

Y là điểm đối xứng với điểm H qua điểm X.

Khi đó, ta có:

HX = KX = TX (do tam giác HKT vuông tại H),

HX = YX (do Y là điểm đối xứng với H qua X).

Suy ra HX = KX = TX = YX hay HY = KT.

Xét tam giác HKT vuông tại H có: KT2 = HK2 + HT2 = 32 + 42 = 25 hay KT = 5.

Xét tứ giác HKYT có HX = KX = TX = YX.

Ta suy ra, tứ giác HKYT có 2 đường chéo KT và HY cắt nhau tại trung điểm X của mỗi đường.

Do đó tứ giác HKYT là hình bình hành.

Sử dụng quy tắc hình bình hành, ta được .

Khi đó = HY = KT = 5.

Vậy độ dài của tổng 2 vectơ là 5.

3.2. Dạng 2: Sử dụng quy tắc hình bình hành chứng minh đẳng thức vectơ

* Phương pháp giải:

Để chứng minh được đẳng thức vectơ bất kỳ, ta sẽ biến đổi vế phức tạp có chứa tổng của 2 vectơ bất kỳ nào đó về tổng của 2 vectơ có cùng chung điểm đầu, sau đó ta sẽ áp dụng quy tắc quy tắc hình bình hành để tiếp tục chứng minh đẳng thức vectơ đã cho đó.

Bài tập vận dụng:

Bài 4. Cho tứ giác GLXY là hình bình hành. Em hãy sử dụng quy tắc hình bình hành để chứng minh đẳng thức vectơ sau: .

Vì tứ giác GLXY là hình bình hành, nên ta có và .

Khi đó, ta được:

VT =

= (theo quy tắc hình bình hành)

= VP.

Ta suy ra điều phải chứng minh.

Bài 5. Cho ABCDRT là lục giác đều. Gọi điểm E là tâm của lục giác đều ABCDRT. Hãy chứng minh đẳng thức vectơ sau: .

Vì ABCDRT là lục giác đều với điểm E là tâm, nên ta có .

Lại có tứ giác ABCE là hình bình hành, khi đó sử dụng quy tắc hình bình hành ta được:

.

Do đó, ta có:

VT = (quy tắc 3 điểm)

= = VP.

Ta suy ra điều phải chứng minh.

Kết luận: Qua chuyên đề Quy tắc hình bình hành vecto này, hy vọng rằng các bạn sẽ nắm vững quy tắc này và áp dụng chúng để xử lý các bài toán một cách sáng tạo, hiệu quả.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang